Tempo de queda livre

            Uma vez uma nuvem molecular gravitacionalmente ligada, é necessário saber quanto tempo levará a colapsar até ao «ponto zero», considerando que não actuam forças dispersivas – tempo de queda livre ( na literatura free-fall time).

            Imaginemos uma partícula de massa , à superfície de uma nuvem (), em . A equação do movimento dessa partícula, é:

[1]

Multiplicando a equação anterior por , temos

 [2]

Integrando em ordem ao tempo, a equação anterior, toma a forma

[3]

O lado direito da equação (3), é igual a

 [4]

Quanto ao lado esquerdo da equação (3), é preciso recordar que

[5]

e

[6]

Deste modo, a partir de (5) e (6), substituindo em (3), temos:

[7]

A partir de (3), substituindo os resultados obtidos em (7) e em (4), tem-se

 [8]

Substituindo (5) em (8), obtém-se

[9]

o que após alguma álgebra, conduz a

[10]

O sinal negativo foi adicionado, uma vez que se pretende que a partícula colapse.

            Assumindo que a nuvem é esférica de densidade uniforme , a sua massa é dada por

[11]

Substituindo esta expressão em (10), obtemos

[12]

Após alguma álgebra,

[13]

Fazendo uma mudança de variável,

[14]

Tendo em conta que,

[15]

Substituindo (15) em (13) e tendo em conta a substituição (14)

[16]

 

[17]

 

[18]

Colocando o  e fora da raiz, obtemos

[19]

Como,

[20]

substituindo em (19), temos

[21]

A análise que temos de fazer é:

 

[22]

Tendo em conta (22), e integrando a equação (21)

[23]

A partir de uma tabela de integrais, temos que

[24]

Pelo que o lado esquerdo do integral (23), toma o valor de

[25]

A partir de (25) e (21), temos

 [26]

Após alguma álgebra, obtém-se

[26]

Uma vez que  é independente do raio inicial da nuvem, toda a matéria tem o mesmo tempo de free-fall. À medida que o colapso se dá, a densidade no interior aumenta. Deste modo,  diminui da parte exterior da nuvem para a interior. Esta situação corresponde ao fenómeno a que na literatura se chama “inside-out colapse”, que conduz à formação de um núcleo denso, enquanto as camadas exteriores ainda estão a cair lentamente.