Matéria Degenerada e as Anãs Brancas

Numa anã branca, os electrões encontram-se quase «empacotados», pelo que os níveis de energia mais baixos estão todos ocupados, para uma dada região. Deste modo, os electrões formam um gás degenerado.

            Como os electrões são partículas de spin semi-inteiro, a distribuição de Fermi-Dirac aplica-se a esse gás degenerado de electrões, e obedece ao princípio de exclusão de Pauli, que nos diz; duas partículas idênticas não podem ocupar o mesmo estado quântico.

A distribuição estatística de Fermi-Dirac, é:

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Na expressão anterior,  é a constante de Boltzmann e  o potencial químico. Para temperaturas altas e baixa densidade de partículas, a distribuição de Fermi-Dirac conduz à distribuição de Maxwell-Boltzmann. Para degenerescência completa , chama-se a  energia de Fermi (representado por), e podemos escrever a expressão anterior, como

[2]

Para compreender o significado da energia de Fermi (), consideremos um sistema de fermiões a uma temperatura , e investiguemos os estados de ocupação, onde as energias são superiores e inferiores à energia de Fermi.

 [3]

Assim, a , os electrões ocupam todos os níveis possíveis de energia, sendo o “preenchimento” igual à unidade, até ao nível igual a .

Todos os níveis com energia () superior à energia de Fermi (), encontram-se desocupados, isto é, os níveis estão por «preencher». A figura seguinte, dá-nos os níveis de ocupação dos electrões para diferentes temperaturas.

Figura – Distribuição da energia de Fermi para uma temperatura finita (linha contínua) e para temperatura zero (linha descontínua).

Fonte: Carrol, Bradley. et al, An Introduction to Modern Astrophisics, Addison-Wesley publishing company, 1996

O número total de estados quânticos dos electrões num dado volume, num intervalo de energia  é dado por:

[4]

O número total de electrões por unidade de volume (), cuja energia se encontra num intervalo , é dado por

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onde, o número dois evidencia o facto dos electrões obedecerem ao princípio de Pauli. A expressão anterior dá-nos a lei de distribuição dos electrões segundo a sua energia.

            Pode-se agora determinar a energia de Fermi, isto é, deduzir uma expressão que nos permite obter a ocupação de todos os estados de energia até à energia de Fermi .

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 [7]

Para qualquer temperatura acima do zero absoluto, alguns níveis de energia, com energia inferior à energia de, tornar-se-ão disponíveis, uma vez que os electrões usam a sua energia térmica para ocupar estados mais energéticos. Contudo, devido à elevada densidade das anãs brancas, considerar-se a matéria degenerada.

            À medida que a estrela se contrai, a energia de Fermi aumenta e quando  exceder , os electrões formam um gás degenerado.