Energia gravitacional

 

Consideremos uma estrela esférica de densidade uniforme . A energia potencial gravítica dessa estrela pode ser deduzida, integrando a energia potencial gravítica de uma das suas camadas.

A energia potencial de uma partícula de massa  à distância  do centro da estrela é,

[1]

Assumindo que temos uma distribuição uniforme dessas partículas, dentro de uma camada de espessura  e massa , então,

[2]

Substituindo (2) em (1), tem-se

[3]

Integrando sobre toda a estrela, a sua energia potencial é dada por

[4]

A massa total da estrela  é dada por

[5]

Substituindo (5) em (3), tem-se

[6]

 

[7]

Resolvendo o integral anterior, temos

[.8]

Como se assumiu que a densidade é constante, tem-se para um corpo esférico,

[9]

Substituindo a equação anterior em (8), após alguma álgebra, obtemos

[10]

A expressão deduzida  corresponde à energia gravitacional de uma estrela esférica de raio.